Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $y=f\left(\left|12x+1\right|+m\right)=f\left(\sqrt{{\left(12x+1\right)}^2}+m\right)$

Suy ra

$$\begin{gathered} y^{\text{'}}=\frac{2.\left(12x+1\right).12}{2\left|12x+1\right|}.f^{\text{'}}\left(\sqrt{{\left(12x+1\right)}^2}+m\right) \\ =\frac{12\left(12x+1\right)}{\left|12x+1\right|}.f^{\text{'}}\left(\left|12x+1\right|+m\right) \end{gathered}$$

+) y' không xác định tại $x=\frac{-1}{12}$ và đổi dấu qua $x=\frac{-1}{12}$; hàm số $y=f\left(\left|12x+1\right|+m\right)$ xác định tại $x=\frac{-1}{12}$ nên hàm số đã cho có một điểm cực trị tại $x=\frac{-1}{12}$.

$$\begin{gathered} +) y^{\text{'}}=0\iff f^{\text{'}}\left(\left|12x+1\right|+m\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left|12x+1\right|+m=-1\\ \left|12x+1\right|+m=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left|12x+1\right|=-1-m\\ \left|12x+1\right|=1-m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}-m-1\le 0\\ -m+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -1\\ m<1\end{array}\right.\iff -1\le m<1$.

Do m nguyên nên $m\in \left\{-1;0\right\}$