Cho x; y > 0 thỏa mãn log2x + log2y = log4( x + y) Tìm x; y để biểu thức P = x^2 + y^2

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Theo đầu bài ta có : 2log₂xy = log₂(x + y) hay x + y = (xy) ²

Đặt u = x + y và v = xy ta có điều kiện u² - 4v ≥ 0 ; u > 0; v > 0.

Mà u = v² nên v⁴ - 4v ≥ 0 suy ra 

Ta có P = v⁴ - 2v = g(v) với 

Đạo hàm g’(v) = 4v³-2 > 0 với mọi 

Do đó hàm số g(v) đồng biến trên $[\sqrt[3]{4};+\infty )$

nên $minP=g\left(\sqrt[3]{4}\right)={\left(\sqrt[3]{4}\right)}^4-2\sqrt[3]{4}=2\sqrt[3]{4}$  khi $v=\sqrt[3]{4}\Rightarrow u=\sqrt[3]{16}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x+y=\sqrt[3]{16}\\ x.y=\sqrt[3]{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\sqrt[3]{2}\\ y=\sqrt[3]{2}\end{array}\right.$