D. Với mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\), ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), ngoài ra \({F^/}\left( {{a^ + }} \right) = f\left( a \right)\) và \({F^/}\left( {{b^ - }} \right) = f\left( b \right)\)

Câu 3 : Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((a;b)\). Giả sử \(G(x)\) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng \((a;b)\). Khi đó:

A. \(F\left( x \right) = G\left( x \right)\) trên khoảng \((a;b)\)

B. \(G\left( x \right) = F\left( x \right) - C\) trên khoảng \((a;b)\), với \(C\) là hằng số.

C. \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + C\) với mọi \(x\) thuộc giao của hai miền xác định, \(C\) là hằng số.

D. Cả ba câu trên đều sai.

Câu 4 : Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x\)

A. \(\int {\cos 3xdx = 3\sin 3x + C} \)

B. \(\int {\cos 3xdx = \frac{{\sin 3x}}{3} + C} \)

C. \(\int {\cos 3xdx = - \frac{{\sin 3x}}{3} + C} \)

D. \(\int {\cos 3xdx = \sin 3x + C} \)

Câu 5 : Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^x+2x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\). Tìm \(F(x)\).

A. \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}\)

B. \(F\left( x \right) = 2{e^x} + {x^2} - \frac{1}{2}\)

C. \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}\)

D. \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}\)

Câu 6 : Cho \(I = \int {{2^{\sqrt x }}\frac{{\ln 2}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x} \). Khi đó kết quả nào sau đây là sai?

A. \(I = {2^{\sqrt x }} + C\)

B. \(I = {2^{\sqrt x + 1}} + C\)

C. \(I = 2\left( {{2^{\sqrt x }} + 1} \right) + C\)

D. \(I = 2\left( {{2^{\sqrt x }} - 1} \right) + C\)

Câu 7 : Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x) = 3 - 5\sin x\) và \(f(0) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. \(f(x) = 3x + 5\cos x + 5\)

B. \(f(x) = 3x + 5\cos x + 2\)

C. \(f(x) = 3x - 5\cos x + 2\)

D. \(f(x) = 3x - 5\cos x + 15\)

Câu 8 : Giả sử hàm số \(f\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right).{e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right){e^{ - x}}\). Tính tổng \(A = a + b + c\), ta được:

A. \(A = - 2\)

B. \(A=4\)

C. \(A=1\)

D. \(A=3\)

Câu 9 : Cho các hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }};\,\,F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) với \(x > \frac{3}{2}\). Để hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) thì giá trị của \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là:

A. \(a = 4,\,{\rm{ }}b = 2,\,{\rm{ }}c = 1\)

B. \(a = 4,\,{\rm{ }}b = - 2,\,{\rm{ }}c = - 1\)

C. \(a = 4,\,{\rm{ }}b = - 2,{\rm{ }}\,c = 1\)

D. \(a = 4,{\rm{ }}\,b = 2,{\rm{ }}\,c = - 1\)

Câu 10 : Cho \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Tính \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\)

A. \(I=e\)

B. \(I = \frac{1}{e}\)

C. \(I = \frac{1}{2}\)

D. \(I=1\)

Câu 11 : Cho \(F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).{e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right).{e^{2x}}\).

A. \(\int {f'(x){e^{2x}}} {\rm{d}}x = (4 - 2x){e^x} + C\)

B. \(\int {f'(x){e^{2x}}} {\rm{d}}x = \frac{{2 - x}}{2}.{e^x} + C\)

C. \(\int {f'(x){e^{2x}}} {\rm{d}}x = \left( {2 - x} \right).{e^x} + C\)

D. \(\int {f'(x){e^{2x}}} {\rm{d}}x = \left( {x - 2} \right).{e^x} + C\)

Câu 12 : Cho \(F(x) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f(x)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'(x)\ln x\)

A. \(\int {f'(x)\ln xdx} = - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}}} \right) + C\)

B. \(\int {f'(x)\ln xdx} = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\)

C. \(\int {f'(x)\ln xdx} = - \left( {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C\)

D. \(\int {f'(x)\ln xdx} = \frac{{\ln x}}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{x^2}}} + C\)

Câu 13 : Cho \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {{t^2} + t} \right){\rm{d}}t} \). Giá trị nhỏ nhất của \(F(x)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là:

A. \(\frac{1}{6}.\)

B. \(2\)

C. \( - \frac{5}{6}.\)

D. \( \frac{5}{6}.\)

Câu 14 : Nếu \(f\left( 1 \right) = 12,\,\,f'\left( x \right)\) liên tục và \(\int\limits_1^4 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 17\). Giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng:

A. 29

B. 5

C. 19

D. 9

Câu 15 : Cho biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 2,\,\,\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3,\,\,\int\limits_1^4 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 7\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 10.\)

B. \(\int\limits_3^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1.\)

C. \(\int\limits_4^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 5.\)

D. \(\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 2.\)

Câu 16 : Cho biết \(A = \int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1\) và \(B = \int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \( - \frac{5}{7}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Câu 17 : Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_{ - 1}^2 {g(x)dx} = - 1\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f(x) - 3g(x)} \right]dx} \)

A. \(I = \frac{5}{2}\)

B. \(I = \frac{7}{2}\)

C. \(I = \frac{{17}}{2}\)

D. \(I = \frac{{11}}{2}\)

Câu 18 : Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 1,2 + \frac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

A. \(18,82\) m

B. \(11,81\) m

C. \(4,06\) m

D. \(7,28\) m

Câu 19 : Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Q\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. \(b>0\)

B. \(c>0\)

C. \(a<0\)

D. \(a + b + c > 0\)

Câu 20 : Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?

A. 24 m/s

B. 108 m/s

C. 18 m/s

D. 64 m/s

Câu 21 : Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};8} \right)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.

A. \(s = 4,0{\rm{ (km)}}\)

B. \(s = 2,3{\rm{ (km)}}\)

C. \(s=4,5 (km\)

D. \(s=5,3 (km)\)

Câu 22 : Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

A. 13 năm

B. 14 năm

C. 12 năm

D. 11 năm

Câu 23 : Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

A. \(s=24,25 (km)\)

B. \(s=26,75 (km)\)

C. \(s=24,75 (km)\)

D. \(s=25,25 (km)\)

Câu 24 : Cho \(\int\limits_0^6 {f(x)dx} = 12\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {f(3x)dx} \).

A. \(I=6\)

B. \(I=36\)

C. \(I=2\)

D. \(I=4\)

Câu 25 : Nếu \(f(x)\) liên tục và \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\), thì \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} \) bằng:

A. 5

B. 29

C. 19

D. 9

Câu 26 : Biến đổi \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}{\rm{d}}x} \) thành \(\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} \), với \(t = \sqrt {1 + x} \). Khi đó \(f(t)\) là hàm nào trong các hàm số sau?

A. \(f\left( t \right) = 2{t^2} - 2t\)

B. \(f\left( t \right) = {t^2} + t\)

C. \(f\left( t \right) = {t^2} - t\)

D. \(f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t\)

Câu 27 : Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x\sqrt {1 + {x^3}} }}} \) có dạng \(I = a\ln 2 + b\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Q\). Khi đó giá trị của \(a\) bằng:

A. \(a = \frac{1}{3}\)

B. \(a =- \frac{1}{3}\)

C. \(a =- \frac{2}{3}\)

D. \(a = \frac{2}{3}\)

Câu 28 : Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^3}{\rm{d}}x} \).

A. \(I = \frac{{{\pi ^4}}}{{64}}\)

B. \(I = \frac{{15}}{4}\)

C. \(I = \frac{{31}}{4}\)

D. \(I = \frac{7}{4}\)

Câu 29 : Kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x} \) được viết dưới dạng \(I = ae + b\) với \(a,{\rm{ }}b \in Q\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(a - b = 2\)

B. \({a^3} + {b^3} = 28\)

C. \(ab = 3.\)

D. \(a + 2b = 1\)

Câu 30 : Tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt a } {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{3 - {e^2}}}{4}\). Giá trị của \(a>0\) bằng:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 31 : Cho \(\frac{\pi }{m} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos x{\rm{d}}x} = 1\). Khi đó \(9{m^2} - 6\) bằng:

A. \(3\)

B. \(30\)

C. \(-3\)

D. \(-30\)

Câu 32 : Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\left( {\sin x + 2m} \right){\rm{d}}x} = 1 + {\pi ^2}\). Giá trị của tham số \(m\) là:

A. 5

B. 3

C. 4

D. 6

Câu 33 : Kết quả của tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1 - \sin x} \right){\rm{d}}x} \) được viết ở dạng \(\pi \left( {\frac{\pi }{a} - \frac{1}{b}} \right) - 1\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(a + 2b = 8\)

B. \(a + b = 5\)

C. \(2a - 3b = 2\)

D. \(a - b = 2\)

Câu 34 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}.\)

A. \(S = \frac{{37}}{{12}}.\)

B. \(S = \frac{9}{4}.\)

C. \(S = \frac{{81}}{{12}}.\)

D. \(S = 13.\)

Câu 35 : Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x=2\) có dạng \(\frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa \(a\) và \(b\) là:

A. \(a - b = 2.\)

B. \(a - b = 3\)

C. \(a - b = -2\)

D. \(a - b = -3\)

Câu 36 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} \), trục hoành và đường thẳng \(x=1\) là:

A. \(S = \frac{1}{3}.\)

B. \(S = \frac{{2\sqrt 2 - 1}}{3}.\)

C. \(S = \frac{{2\sqrt 2 + 1}}{3}.\)

D. \(S = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right).\)

Câu 37 : Viết Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2\left( {x - 1} \right){e^x},\) trục tung và trục hoành. Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \((H)\) xung quanh trục \(Ox\).

A. \(V = 4 - 2e.\)

B. \(V = \left( {4 - 2e} \right)\pi .\)

C. \(V = {e^2} - 5.\)

D. \(V = \left( {{e^2} - 5} \right)\pi .\)

Câu 38 : Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\,\,\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 - {x^2}} \), bằng:

A. \(V=3\)

B. \(V=18\)

C. \(V=20\)

D. \(V=22\)

Câu 39 : Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A. \(V = \pi - 1\)

B. \(V = (\pi - 1)\pi \)

C. \(V = (\pi + 1)\pi \)

D. \(V = \pi + 1\)

Câu 40 : Hình phẳng \(C\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 1\), trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) tại điểm \(\left( {1;2} \right)\), khi quay quanh trục \(Ox\) tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:

A. \(V = \frac{4}{5}\pi .\)

B. \(V = \frac{{28}}{{15}}\pi .\)

C. \(V = \frac{8}{{15}}\pi .\)

D. \(V = \pi .\)

Lời giải có ở chi tiết câu hỏi nhé! (click chuột vào câu hỏi).

Lớp 12

Toán học

Toán học - Lớp 12

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi hoctapsgk.com Nghe truyện audio Đọc truyện chữ Công thức nấu ăn