Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x{}^2 + {y^2} = x + y + xy\). Đặt \(S = x + y\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\end{array}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\)\( \Rightarrow xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}x{}^2 + {y^2} = x + y + xy\\ \Leftrightarrow x + y = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy \ge {\left( {x + y} \right)^2} - \dfrac{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow x + y \ge \dfrac{1}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + y} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x + y \le 4\\ \Leftrightarrow 0 \le S \le 4\end{array}\)

Chọn D.