Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và

a) Do MN // Ox nên $\widehat{NMO}=\widehat{xOM}=\alpha$ (hai góc so le trong).

Tam giác OMN có OM = ON (bán kính) nên tam giác OMN cân tại O.

Suy ra $\widehat{MON}=180°-2\widehat{NMO}=180°-2\alpha$.

Ta lại có: $\widehat{xON}=\widehat{xOM}+\widehat{MON}=\alpha +\left(180°-2\alpha \right)$$=180°-\alpha$ 

Vậy $\widehat{xON}=180°-\alpha .$

b) Do điểm M có tọa độ (x₀; y₀) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:

sin α = y₀; cos α = x₀; $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}$; $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}$    (1).

Do điểm N có tọa độ (– x₀; y₀) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xON}=180°-\alpha$ nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:

sin(180° – α) = y₀; cos(180° – α) = – x₀;$\tan \left(180°-\alpha \right)=\frac{y_0}{-x_0}=-\frac{y_0}{x_0}$; $\cot \left(180°-\alpha \right)=\frac{-x_0}{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}$   (2).

Từ (1) và (2) ta có: sin(180° – α) = sin α;

                              cos(180° – α) = – cos α;

                              tan(180° – α) = – tan α;

                              cot(180° – α) =  – cot α.