Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24)

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos A

$\Rightarrow \cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$  (1)

Ta lại có: sin² A + cos² A = 1

Do đó: sin² A = 1 – cos² A

Vì góc A là một góc của tam giác ABC nên 0° < $\widehat{A}$< 180° nên sin A > 0.

Nên $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$   (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}$$=\sqrt{\frac{{\left(2bc\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}-\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{{\left(2bc\right)}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{{\left(2bc\right)}^2}}$$=\sqrt{\frac{\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)}{{\left(2bc\right)}^2}}$

$=\frac{\sqrt{\left({\left(b+c\right)}^2-a^2\right)\left(a^2-{\left(b-c\right)}^2\right)}}{2bc}$$=\frac{\sqrt{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}}{2bc}$

$=\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2c\right)\left(a+b+c-2b\right)}}{2bc}$

Lại có $p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow a+b+c=2p$

Khi đó: $\sin A=\frac{\sqrt{2p.\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)}}{2bc}$$=\frac{\sqrt{16p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{2bc}$

Vậy $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

b) Diện tích tam giác ABC là $S=\frac{1}{2}bc\sin A$.

Mà $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

Nên $S=\frac{1}{2}bc.\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Vậy $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.