Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7,góc A = 120 độ . Tính độ dài cạnh AC

Cách 1: áp dụng định lí sin và côsin

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$

$\Rightarrow \sin C=\frac{AB.\sin A}{BC}=\frac{5.\sin 120°}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$.

Do đó: $\widehat{C}\approx 38°$.

Lại có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{B}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=180°-\left(120°+38°\right)=22°$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2 . AB . AC . sin B = 5² + 7² – 2 . 5 . 7 . cos 22° ≈ 9

⇒ AC ≈ 3.

Cách 2: Dựng thêm đường cao và sử dụng định lí Pythagore.

Dựng đường cao CH của tam giác ABC.

Đặt AH = x.

Ta có: $\widehat{BAC}+\widehat{CAH}=180°$( kề bù).

$\Rightarrow \widehat{CAH}=180°-\widehat{BAC}=180°-120°=60°$.

Tam giác ACH vuông tại H nên

$cos\widehat{CAH}=\frac{AH}{CA}\Rightarrow CA=\frac{AH}{cos\widehat{CAH}}=\frac{x}{cos60°}=\frac{x}{\frac{1}{2}}=2x$.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: $CH=x\sqrt{3}$.

Và BC² = BH² + CH² = (BA + AH)² + CH²

Thay số: 7² = (5 + x)² + 3x² (1)

Giải phương trình (1) ta được x = 1,5 là giá trị thỏa mãn.

Suy ra AC = 2x = 2 . 1,5 = 3.