Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài của các vectơ sau

a) Tam giác ABD vuông tại A (hình vuông ABCD), áp dụng định lí Pythagore, ta có: BD² = AD² + AB² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow BD=a\sqrt{2}$.

Vì ABCD là hình vuông nên DA // = CB, do đó: $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$

Khi đó: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$ .

Suy ra: $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=a\sqrt{2}$ .

Vậy $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=a\sqrt{2}$ .

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=a\sqrt{2}$ .

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{2}$ .

c) O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó ta có: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}$

Khi đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CB}$ .

Suy ra $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\overrightarrow{\left|CB\right|}=CB=a$ .

Vậy $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=a$ .