Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh

a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: PN // =$\frac{1}{2}$ BC.

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{PN}$  và $\overrightarrow{BC}$   cùng hướng và PN =$\frac{1}{2}$ BC.

Suy ra: $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .

Do đó: $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}$ .

Vậy $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$ .

b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: MP // = $\frac{1}{2}$  AC.

Lại có hai vectơ $\overrightarrow{MP}$  và $\overrightarrow{CA}$  cùng hướng và MP =$\frac{1}{2}$ CA nên $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ .

Hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{MP}$ .

Khi đó ta có: $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ .

Vậy $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$ .