Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$ .

Tương tự N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN\text{}}$ .

Lại cso G là trung điểm của MN nên $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$ .

Khi đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$

$=\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{EG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

=  $4\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{0}$

$=4\overrightarrow{EG}$.

Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$ .

Thay vào câu a) ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{EG}$

Vậy $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ .

c) Theo câu b ta có: $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$  nên hai vectơ $\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EG}$  cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG =$\frac{3}{4}$ AE.

Hai vectơ $\overrightarrow{AG}$  và $\overrightarrow{AE}$  cùng hướng.

Do đó: $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ .