Cho hình bình hành ABCD. Đặt vecto AB = vecto a, vecto AD = vecto b . Gọi G là trọng tâm của tam giác AB

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $BG=\frac{2}{3}BO$ .

Mà BO = $\frac{1}{2}$ BD nên $BG=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{BG},\overrightarrow{BD}$  cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$ BD.

Nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

Ta có: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

$=\left(1-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

Do đó:$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

Ta có: $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=\left(-\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{AG}$

$=-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AG}$

$=-\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right)$

$=\left(-1+\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{a}+\left(-1+\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{b}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

  Vậy $\overrightarrow{CG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ .