Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

a) + Ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{DB}\right)$$=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}$

Mà $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ .

Do đó: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=\left(-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AH}$

Mà $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Do đó: $\overrightarrow{DH}=-\left(\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

+ Ta có: $\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}$$=\left(-\overrightarrow{AH}\right)+\overrightarrow{AE}$

Mà $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ .

Do đó:$\overrightarrow{HE}=\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Vậy $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

b) Theo câu a, ta có: $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$  và $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Do đó: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}$ .

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.