Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì

* Hướng dẫn giải

+ Ta có:

           ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$ (bình phương vô hướng của vectơ )

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$

         $={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

  Vậy ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

+ Ta có: 

           ${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)$ (bình phương vô hướng của vectơ )

$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\left(-\overrightarrow{b}\right)$

          $={\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

 Vậy ${\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$.

+ Ta có: $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$$=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}$

       $={\overrightarrow{a}}^2+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.

Vậy $\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2$.