Cho tam giác ABC. Chứng minh

Ta có: $A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}$

$=A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\left(-\overrightarrow{AB}\right)$

$=A{B}^2-{\overrightarrow{AB}}^2$

$=A{B}^2-A{B}^2=0$.

Vậy $A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$.