Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng

Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.

Do đó: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

Ta có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

         $=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=0$$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

 $=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{HB}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{HB}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}-\left(-\overrightarrow{BH}\right)\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}\right)$

$=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0$.

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=0$$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$.