Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, góc BAC = 120 độ . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

a) + Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC­² – 2 . AB . AC . cos$\widehat{BAC}$

        = 3² + 4² – 2 . 3. 4 . cos 120°

        = 9 + 16 – (– 12)

        = 37

Suy ra: $BC=\sqrt{37}\approx 6$.

+ Ta có: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}$$=\frac{3^2+6^2-4^2}{\mathrm{2.3.6}}=\frac{29}{36}$

Suy ra $\widehat{B}\approx 36°$.

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{BC}{\sin A}=2R$

Suy ra: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{6}{2.\sin 120°}=2\sqrt{3}\approx 3$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R ≈ 3.

c) Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A$$=\frac{1}{2}\mathrm{.3.4.}\sin 120°=3\sqrt{3}\approx 5$.

d) Kẻ đường cao AH.

Ta có diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}AH.BC$

Suy ra: $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2.5}{6}\approx 2$.

e)

+ Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

$=AB.AC.\cos \widehat{BAC}$

= 3 . 4 . cos 120° = – 6.

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-6$.

+ Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$  .

Suy ra: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Khi đó: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\left(-\overrightarrow{AB}\right)+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2\right)$

$=\frac{1}{2}\left(AC-AB\right)=\frac{1}{2}\left(4-3\right)=\frac{1}{2}$

  Vậy $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}$.