Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, góc BAD = 60 độ (Hình 73)

* Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)$

 $=AB.AD.\cos \widehat{BAD}$= 4 . 6 . cos60° = 12.

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=12$

Ta cũng có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

 $={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$= AB² + 12 = 4² + 12 = 28.

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=28$

Lại có: $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right).\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

$=\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right).\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)$$={\overrightarrow{AD}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2$

= AD² – AB² = 6² – 4² = 20.

Vậy $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}=20$

c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2 . AB . AD . cosA

        = 4² + 6² – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28

$\Rightarrow BD=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Ta có:  $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{AC}\right)}^2={\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)}^2$

$\iff {\overrightarrow{AC}}^2={\overrightarrow{AB}}^2+2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+{\overrightarrow{AD}}^2$

$\iff A{C}^2=A{B}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+A{D}^2$

 Suy ra: AC² = 4² + 2 . 12 + 6² = 76

$\Rightarrow AC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$.