Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60 độ. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho

a) Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}=90°-60°=30°.$

$\widehat{ACM}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACM}=30°.$

Tam giác CAM có $\widehat{ACM}=\widehat{CAM}=30°$ nên tam giác CAM cân tại M.

Vậy tam giác CAM cân tại M.

b) Có $\widehat{BAC}=\widehat{BAM}+\widehat{MAC}.$

 Do đó $\widehat{BAM}=\widehat{BAC}-\widehat{MAC}=90°-30°=60°.$

$\widehat{ABM}=\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABM}=60°.$

Xét tam giác BAM có $\widehat{ABM}+\widehat{BAM}+\widehat{BMA}=180°.$

Do đó $\widehat{BMA}=180°-\widehat{ABM}-\widehat{BAM}=180°-60°-60°=60°.$

Tam giác BAM có $\widehat{ABM}=\widehat{BAM}=\widehat{BMA}=60°$ nên tam giác BAM là tam giác đều.

Vậy tam giác BAM là tam giác đều.

c) Do tam giác CAM cân tại M nên MA = MC (1).

Do tam giác BAM là tam giác đều MA = MB (2).

Từ (1) và (2) ta có MB = MC.

Mà M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.

Vậy M là trung điểm của BC.