Cho tam giác ABC với đường cao BD a) Biểu thị BD theo AB và sin A.

Xét ΔABD vuông tại D, có:

$BD=\sin \widehat{BAD}.AB$

 $$\begin{gathered} Mà \widehat{BAD}+\widehat{BAC}={180}^0 \\ \Rightarrow \sin \widehat{BAC}=\sin \left({180}^0-\widehat{BAD}\right)=\sin \widehat{BAD} \\ \Rightarrow BD=\sin \widehat{BAC}.AB=\sin A.AB \end{gathered}$$

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = sinA.AB.

b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC:

TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Vậy cả hai trường hợp $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$