Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu 1 xuất phát từ $A\text{'}\in d_1$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $\alpha$. Gọi  và  lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B’, C’ là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_r}=\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{C\text{'}B\text{'}}.$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là ${\overrightarrow{v}}_1=\overrightarrow{v_r}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{A\text{'}C\text{'}}+\overrightarrow{C\text{'}B\text{'}}=\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}.$

Xét ΔA’B’C’, có: $\widehat{A\text{'}C\text{'}B\text{'}}=\alpha$ (hai góc so le trong)

${\left|\overrightarrow{v_1}\right|}^2={\left|\overrightarrow{v_r}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{v_r}\right|.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha$

Giả sử tàu 2 xuất phát từ $A\in d_1$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $\alpha$. Gọi $\overrightarrow{v_r}$ và $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B, C là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_r}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{CB}.$

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_r}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}.$

Xét ΔABC, có: $\widehat{ABC}={180}^0-\alpha$

${\left|\overrightarrow{v_2}\right|}^2={\left|\overrightarrow{v_r}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{v_r}\right|.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\left({\text{180}}^0-\alpha \right)={\left|\overrightarrow{v_r}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{v_r}\right|.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha$

Do

$0^0<\alpha <{90}^0\Rightarrow cos\alpha >0\Rightarrow {\left|\overrightarrow{v_r}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{v_r}\right|.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha >{\left|\overrightarrow{v_r}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{v_r}\right|.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha$

hay ${\left|\overrightarrow{v_2}\right|}^2>{\left|\overrightarrow{v_1}\right|}^2$

Vì độ dài hai quãng đường AN và A’M’ của tàu 2 và tàu 1 chênh nhau không đáng kể nên ta coi nó bằng nhau. Do đó vì vận tốc tàu 2 lớn hơn tàu 1 nên tàu 2 là tàu đi qua bờ bên kia trước.