Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2;1), B(-2;5) và C(-5;2).

* Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{BA}\left(4;-4\right)$ và $\overrightarrow{BC}\left(-3;-3\right).$

b) Ta có: $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=4.\left(-3\right)+\left(-4\right).\left(-3\right)=-12+12=0$

$\Rightarrow BA\perp BC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.

Diện tích tam giác vuông ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{1}{2}.\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2}.\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\frac{1}{2}.4\sqrt{2}.3\sqrt{2}=12$ (đvdt)

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2+\left(-2\right)+\left(-5\right)}{3}=\frac{-5}{3}\\ y_G=\frac{1+5+2}{3}=\frac{8}{3}\end{array}\right.\Rightarrow G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right)$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right).$

d) Để tứ giác BCAD là hình bình hành khi $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{DA}\left(2-x;1-y\right)$ và $\overrightarrow{BC}\left(-3;-3\right)$

Khi đó, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2-x=-3\\ 1-y=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}\right.\Rightarrow D\left(5;4\right)$.

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.