Cho các mệnh đề sau: P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

* Hướng dẫn giải

a)

+) Xét mệnh đề P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”:

Lấy số thực x bất kì, ta có:

Nếu x ≥ 0 thì |x| = x;

Nếu x < 0 thì |x| = - x. Do đó |x| > x.

Suy ra với mọi x $\in ℝ$ thì |x| ≥ x.

Vậy mệnh đề P đúng.

+) Xét mệnh đề Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”:

Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn n² = 10.

Xét n² = 10 $\iff \left[\begin{array}{l}n=\sqrt{10}\\ n=-\sqrt{10}\end{array}\right.$

Tuy nhiên $\sqrt{10},-\sqrt{10}\notin \mathbb{N}$.

Do đó không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy mệnh đề Q sai.

+) Xét mệnh đề R: “Có số thực x sao cho x² + 2x – 1 = 0”.

Xét phương trình x² + 2x – 1 = 0, có:

∆’ = 1² – 1.(-1) = 2 > 0

Khi đó phương trình có hai nghiệm $x_1=-1+\sqrt{2};x_2=-1-\sqrt{2}$.

Hai nghiệm này đều là các số thực.

Do đó tồn tại các số thực $x=-1+\sqrt{2};x=-1-\sqrt{2}$ thỏa mãn x² + 2x – 1 = 0.

Vậy mệnh đề R đúng.

b) Bằng cách sử dụng kí hiệu, các mệnh đề được phát biểu như sau:

P: “$\forall x\in ℝ,\left|x\right|\ge x$”.

Q: “$\exists n\in \mathbb{N},$n² = 10”

R: “$\exists x\in ℝ$, x² + 2x – 1 = 0”.