Chứng minh rằng với mọi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta đều có: a) cos2α + sin2α = 1

sinα = y₀

cosα = x₀

Suy ra cos² α + sin ² α  = x₀² + y₀² = 1

Vậy sin ² α + cos² α = 1.

b) Với mỗi góc α (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ .

Khi đó tanα  = $\frac{y_0}{x_0}$  ; cotα = $\frac{x_0}{y_0}$ ;

Suy ra tanα  . cotα  = $\frac{y_0}{x_0}$. $\frac{x_0}{y_0}$ = 1.

Vậy tanα  . cotα  = 1 (0° < α  < 180°, α  ≠ 90°).

c) Với α  ≠ 90° ; tanα =  và x₀² + y₀² = sin ²α + cos²α = 1 ; cosα = x₀ ⇒ cos²α = x₀².

Ta có: 1 + tan²α  =

$1+{\left(\frac{y_0}{x_0}\right)}^2=1+\frac{{y_0}^2}{x{}_{0}2}=\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{x{}_{0}2}=\frac{1}{x{}_{0}2}=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ .

Vậy 1 + tan²α  = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$  (α  ≠ 90°).

d) Với 0° < α  < 180° ta có cotα = $\frac{x_0}{y_0}$ và sinα = y₀ ⇒ sin² α = y₀².

Ta có : 1 + cot²α =

$1+{\left(\frac{x_0}{y_0}\right)}^2=1+\frac{{x_0}^2}{{y_0}^2}=\frac{{x_0}^2+{y_0}^2}{{y_0}^2}=\frac{1}{{y_0}^2}=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ .

Vậy 1 + cot² α  = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$  (0^o < α  < 180°).