Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức ha = 2RsinBsinC

* Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC, đặt BC = a, AC = b, AB = c, h_a là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có diện tích tam giác ABC : S =  $\frac{1}{2}a.h_a$ ⇒ $h_a=\frac{2S}{a}$

Mà  $S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow h_a=\frac{2.\frac{abc}{4R}}{a}=\frac{2bc}{4R}=\frac{bc}{2R}$         (1)

Theo định lí sin ta có :

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow b=2R\sin B;\text{ c\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}2R\sin C$     (2)

Thế (2) vào (1) ta có :

$h_a=\frac{2R\sin B.2R\sin C}{2R}=2R\sin B.\sin C$

Vậy h_a = 2RsinBsinC.