Cho hình bình hành ABCD. a) Chứng minh 2(AB2 + BC2) = AC2 + BD2. b) Cho AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD; AB = DC,

Và AB // CD nên $\widehat{A}+\widehat{D}={180}^o\Rightarrow \widehat{D}={180}^o-\widehat{A}$  suy ra cosD = cos(180 – A)= – cosA.

Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác ABD và ADC ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = BC² + AB² – 2.BC.AB.cosA

AC² = AD² + DC² – 2.AD.DC.cosD = BC² + AB² + 2.BC.AB.cosA

Khi đó : BD² + AC² = 2AB² + 2BC² = 2(AB² + BC²).

Vậy 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

b) Thay AB = 4, BC = 5, BD = 7 vào biểu thức 2(AB² + BC²) = AC² + BD² ta được:

2.(4² + 5²) = AC² + 7² ⇒ AC² = 2.(4² + 5²) – 7² = 33

⇒ AC = $\sqrt{33}\approx 5,7$

Vậy AC ≈ 5,7.