Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cotA + cotB + cotC

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có: cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}$  mà theo hệ quả định lí côsin cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2.b.c}$  ;

Vì $S=\frac{1}{2}bc\sin A$  ⇒ sinA = $\frac{2S}{bc}$

Do đó cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{2S}{bc}}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

Tương tự, ta có : cotB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ ; cotC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$ ;

Suy ra: cotA + cotB + cotC = $\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$ + $\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$+ $\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$= $\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

Mặt khác S = $\frac{abc}{4R}$  (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Suy ra: cotA + cotB + cotC =

$\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4.\frac{abc}{4R}}=\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}$

Vậy cotA + cotB + cotC = $\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}$