Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (a + b)n, biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

+) Ta có:

$C_n^k\le C_n^{k+1}\iff \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\le \frac{n!}{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}$

$\iff \left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!\le k!\left(n-k\right)!$

$\iff k+1\le n-k\iff 2k\le n-1$ (*).

– Nếu n lẻ thì $\left(*\right)\iff k\le \frac{n-1}{2}.$ Từ đây ta có $C_n^k\ge C_n^{k+1}\iff k\ge \frac{n-1}{2}.$

$\Rightarrow C_n^0\le C_n^1\le \mathrm{...}\le C_n^{\frac{n-1}{2}}\le C_n^{\frac{n+1}{2}}\le \mathrm{...}\le C_n^n.$

Dấu "=" chỉ xảy ra khi $k=\frac{n-1}{2}.$

Do đó có hai số có giá trị lớn nhất là $C_n^{\frac{n-1}{2}}$ và $C_n^{\frac{n+1}{2}}$.

– Nếu n chẵn thì $\left(*\right)\iff k\le \left[\frac{n-1}{2}\right]=\frac{n}{2}-1.$ Từ đây ta có $C_n^k\ge C_n^{k+1}\iff k\ge \frac{n}{2}-1.$

$\Rightarrow C_n^0\le C_n^1\le \mathrm{...}\le C_n^{\frac{n}{2}}\le \mathrm{...}\le C_n^n.$

Dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị k nào.

Do đó chỉ có đúng một số có giá trị lớn nhất là $C_n^{\frac{n}{2}}$.

+) Áp dụng:

Tổng các hệ số của khai triển (a + b)n bằng 4096

$\Rightarrow C_n^0+C_n^1+\dots +C_n^n=4096\Rightarrow 2^n=4096\Rightarrow n=12$

$\Rightarrow$ Hệ số lớn nhất của khai triển là $C_{12}^6=924.$