Viết phương trình đường conic có tâm sai , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0. Cho biết conic đó là đường gì?

Xét điểm M(x; y) thuộc conic.

M(x; y) thuộc đường conic đã cho khi và chỉ khi

$\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \frac{\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}}{\frac{\left|x+y+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sqrt{{\left(x+1\right)}^2+y^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\left|x+y+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{\left(x+1\right)}^2+y^2}=\frac{\left|x+y+1\right|}{2}$

$\iff 2\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+y^2}=\left|x+y+1\right|$

$\iff 4\left[{\left(x+1\right)}^2+y^2\right]={\left(x+y+1\right)}^2$

$\iff 4\left[\left(x^2+2x+1\right)+y^2\right]=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$

$\iff 4x^2+8x+4+4y^2=x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$

$\iff 3x^2+3y^2-2xy+6x-2y+3=0.$

Conic này là elip vì có tâm sai lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1.