Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px và y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol

+) Xét trường hợp a > 0.

Để hai parabol cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì đỉnh của parabol y = ax2 + bx + c phải nằm ở góc phần tư thứ IV (như hình vẽ).

Khi đó ta suy ra b < 0 và phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt

Xét phương trình đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

có ${\left[\frac{\left(\frac{b}{a}-2p\right)}{2}\right]}^2+{\left[\frac{\frac{1}{a}}{2}\right]}^2-\frac{c}{a}={\left(\frac{b}{2a}-p\right)}^2+{\left(\frac{1}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$

$=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}-\frac{c}{a}=\left(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\right)-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}-\frac{b}{a}.p+p^2+\frac{1}{4a^2}$

Vì b < 0 và $b^2-4ac>0$ (chứng minh trên) nên $-\frac{b}{a}.p$> 0 và $\frac{b^2-4ac}{4a^2}>0$

Do đó ${\left[\frac{\left(\frac{b}{a}-2p\right)}{2}\right]}^2+{\left[\frac{\frac{1}{a}}{2}\right]}^2-\frac{c}{a}>0.$

Vậy (C) đúng là phương trình một đường tròn.

+) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta được (C) đúng là phương trình một đưởng tròn.

+) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm của hai parabol nằm trên đường tròn này. Thật vậy:

Nếu điểm M(x; y) là giao điểm của hai parabol trên thì ta có:

y2 = 2px và y = ax2 + bx + c $\Rightarrow$ y2 – 2px = 0 và ax2 + bx + c – y = 0

$\Rightarrow$ y2 – 2px = 0 và $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a}=0$

$\Rightarrow$$\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-\frac{y}{a}\right)+\left(y^2-2px\right)=0$

$\Rightarrow$$x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}x-2px\right)-\frac{y}{a}+\frac{c}{a}=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0.$

Do đó M thuộc đường tròn (C). Vậy bốn giao điểm của parabol đều nằm trên (C).