Giải các hệ phương trình sau a) 2x + y - 3z = 3; x + y + 3z = -3; 3x - 2y + z = -1

a) $\left\{\begin{array}{l}2x+y-3z=3\\ x+y+3z=2\\ 3x-2y+z=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-3z=3\\ -y-9z=-1\\ 3x-2y+z=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-3z=3\\ -y-9z=-1\\ 7y-11z=11\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-3z=3\\ -y-9z=-1\\ -74z=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-3z=3\\ -y-9\left(-\frac{2}{37}\right)=-1\\ z=-\frac{2}{37}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+\frac{55}{37}-3\left(-\frac{2}{37}\right)=3\\ y=\frac{55}{37}\\ z=-\frac{2}{37}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{25}{37}\\ y=\frac{55}{37}\\ z=-\frac{2}{37}\end{array}.\right.$

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = $\left(\frac{25}{37};\frac{55}{37};-\frac{2}{37}\right).$

b) $\left\{\begin{array}{l}4x+y+3z=-3\\ 2x+y-z=1\\ 5x+2y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4x+y+3z=-3\\ -y+5z=-5\\ -3y+15z=-19\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4x+y+3z=-3\\ -3y+15z=-15\\ -3y+15z=-19\end{array}\right..$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –15 = –19, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

c)  $\left\{\begin{array}{l}x+2z=-2\\ 2x+y-z=1\\ 4x+y+3z=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+2z=-2\\ -y+5z=-5\\ 4x+y+3z=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+2z=-2\\ -y+5z=-5\\ -y+5z=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+2z=-2\\ -y+5z=-5\end{array}\right..$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được y = 5z + 5. Rút x theo z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được x = –2z – 2. Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(–2z – 2; 5z + 5; z) | z $\in ℝ\text{}}.$