Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss a) 2x - y - z = 2; x + y = 3; x - y + z = 2

* Hướng dẫn giải

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ x-y+z=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ 3x-2y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ 5y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+1=3\\ y=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2.2-1-z=2\\ x=2\\ y=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}z=1\\ x=2\\ y=1\end{array}.\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (2; 1; 1).

b) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ x+2y+z=5\\ -x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ 4x+y=7\\ -x+y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ 4x+y=7\\ 5y=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ 4x+3=7\\ y=3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3.1-3-z=2\\ x=1\\ y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}z=-2\\ x=1\\ y=3\end{array}\right..$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = (1; 3; –2).

c) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 4x-7y=-6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right..$

Rút x theo y từ phương trình thứ hai của hệ ta được x = $\frac{7y-6}{4}.$ Rút z theo x và y từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

z = x – 3y + 6 = $\frac{7y-6}{4}-3y+6=\frac{-5y+18}{4}.$ 

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là

S = {$\left(\frac{7y-6}{4};y;\frac{-5y+18}{4}\right)$ | y $\in ℝ\text{}}.$

d) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 4x-7y=-6\\ 4x-7y=3\end{array}\right..$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –6 = 3, điều này vô lí. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

e) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ 4x-y+z=11\\ -5x-y-9z=-22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ -y-31z=-25\\ -5x-y-9z=-22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ -y-31z=-25\\ -8y-62z=-56\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ -y-31z=-25\\ -186z=-144\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ -y-31.\frac{24}{31}=-25\\ z=\frac{24}{31}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{87}{31}\\ y=1\\ z=\frac{24}{31}\end{array}\right..$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = $\left(\frac{87}{31};1;\frac{24}{31}\right).$

f) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ 5x-y-2z=3\\ 7x-4y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ -13y-16z=-16\\ 7x-4y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ -13y-16z=-16\\ -13y-16z=-16\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ -13y-16z=-16\end{array}\right..$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai của hệ ta được y = $\frac{16-16z}{13}.$Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất của hệ ta được

x = $\frac{3y+4z-2}{2}=\frac{3.\frac{16-16z}{13}+4z-2}{2}=\frac{36z+22}{26}=\frac{18z+11}{13}.$

Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {$\left(\frac{18z+11}{13};\frac{16-16z}{13};z\right)$| y $\in ℝ\text{}}.$