Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau . a) Giả sử (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của

a) Vì (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình nên:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_0+b_1{y}_0+c_1{z}_0=d_1\\ a_2{x}_0+b_2{y}_0+c_2{z}_0=d_2\\ a_3{x}_0+b_3{y}_0+c_3{z}_0=d_3\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}_1+b_1{y}_1+c_1{z}_1=d_1\\ a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1=d_2\\ a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1=d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left(a_1{x}_0+b_1{y}_0+c_1{z}_0\right)+\left(a_1{x}_1+b_1{y}_1+c_1{z}_1\right)=2d_1\\ \left(a_2{x}_0+b_2{y}_0+c_2{z}_0\right)+\left(a_2{x}_1+b_2{y}_1+c_2{z}_1\right)=2d_2\\ \left(a_3{x}_0+b_3{y}_0+c_3{z}_0\right)+\left(a_3{x}_1+b_3{y}_1+c_3{z}_1\right)=2d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_1\left(x_0+x_1\right)+b_1\left(y_0+y_1\right)+c_1\left(z_0+z_1\right)=2d_1\\ a_2\left(x_0+x_1\right)+b_2\left(y_0+y_1\right)+c_2\left(z_0+z_1\right)=2d_2\\ a_3\left(x_0+x_1\right)+b_3\left(y_0+y_1\right)+c_3\left(z_0+z_1\right)=2d_3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}_1\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_1\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_1\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_1\\ a_2\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_2\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_2\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_2\\ a_3\frac{\left(x_0+x_1\right)}{2}+b_3\frac{\left(y_0+y_1\right)}{2}+c_3\frac{\left(z_0+z_1\right)}{2}=d_3\end{array}\right.$

Mặt khác do (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) phân biệt nên $\left(\frac{x_0+x_1}{2};\frac{y_0+y_1}{2};\frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng đôi một phân biệt với (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1).

Do đó $\left(\frac{x_0+x_1}{2};\frac{y_0+y_1}{2};\frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Xét hệ phương trình bậc nhất ba ẩn $\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$.

có (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình này.

Giả sử hệ chỉ có n nghiệm đôi một phân biệt (x0; y0; z0), (x1; y1; z1), ..., (xn; yn; zn).

Ta chọn ra hai nghiệm (xi; yi; zi) và (xj; yj; zj) thoả mãn xi và xj là hai số nhỏ nhất trong tập hợp A = {x0; x1; ...; xn}.

Khi đó, áp dụng câu a) ta được $\left(\frac{x_i+x_j}{2};\frac{y_i+y_j}{2};\frac{z_i+z_j}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

Mặt khác $\frac{x_i+x_j}{2}$ khác xi, xj và $\frac{x_i+x_j}{2}$< max{xi, xj} nên $\frac{x_i+x_j}{2}$ không trùng với phần tử nào trong tập hợp A. Do đó hệ đã cho có n + 1 nghiệm phân biệt (vô lí).

Vậy hệ này có vô số nghiệm.