Cho tổng Sn = a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tồng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

a) S1 = $\frac{1}{1\left(1+1\right)}=\frac{1}{2},$ S2 = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3},$ S3 = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}.$

b) Từ câu a) ta dự đoán Sn = $\frac{n}{n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có S1 = $\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}.$ 

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: Sk = $\frac{k}{k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Sk + 1 = $\frac{k+1}{\left(k+1\right)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

Sk + 1 = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}$

= Sk + $\frac{1}{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.