(Số các tập con của tập hợp có n phần tử)

a) Ta có:

$=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}+C_n^2{x}^{n-2}+\dots +C_n^{n-1}x+C_n^n.$

b) Cho x = 1, ta được:

${(1+1)}^n={\text{C}}_2^0{1}^n+{\text{C}}_n^1{1}^{n-1}+{\text{C}}_n^2{1}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}1+{\text{C}}_n^n$

hay $2^n={\text{C}}_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}+{\text{C}}_n^n.$

Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2ⁿ.

c) Cho x = –1, ta được:

hay $0={\text{C}}_n^0{\left(-1\right)}^n{\text{+C}}_n^1{\left(-1\right)}^{n-1}+{\text{C}}_n^2{\left(-1\right)}^{n-2}+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}\left(-1\right)+{\text{C}}_n^n.$

Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hơp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.