Biết rằng (2 + x)100 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a100x100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak Iớn nhất?

+) Ta có:

Số hạng chứa xk trong khai triển của (2 + x)100 hay (x +2)100 là

 $C_{100}^{100-k}{x}^k{2}^{100-k}=C_{100}^k{2}^{100-k}{x}^k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}{x}^k.$

Vậy hệ số của xk trong khai triển của (x + 2)100 là $2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\Rightarrow a_k=2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}.$

+) Giải bất phương trình: ak ≤ ak + 1 (1).

$\left(1\right)\iff 2^{100}\frac{C_{100}^k}{2^k}\le 2^{100}\frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{2^k}\le \frac{C_{100}^{k+1}}{2^{k+1}}\iff \frac{C_{100}^k}{C_{100}^{k+1}}\le \frac{2^k}{2^{k+1}}$

$\iff \frac{\frac{100!}{k!\left(100-k\right)!}}{\frac{100!}{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}}\le \frac{1}{2}\iff \frac{\left(k+1\right)!\left(100-k-1\right)!}{k!\left(100-k\right)!}\le \frac{1}{2}\iff \frac{k+1}{100-k}\le \frac{1}{2}$

$\iff 2\left(k+1\right)\le 100-k\iff 3k\le 98\iff k\le 32$ (vì k là số tự nhiên).

+) Vì ak ≤ ak + 1$\iff k\le 32$ nên ak ≥ ak + 1 $\iff k\ge 32.$

Do đó $a_1\le a_2\le \mathrm{...}\le a_{32}\le a_{33}\ge a_{34}\ge a_{35}\ge \mathrm{...}\ge a_{100}.$

Ta thấy dấu "=" không xảy ra với bất kì giá trị nào của k.

Do đó a33 là giá trị lớn nhất trong các ak.