Cho elip . a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B

Có $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-5}=2.$

a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.

Khi đó toạ độ của A có dạng (c; yA) hay (2; yA) với yA > 0;

toạ độ của B có dạng (c; yB) hay (2; yB) với yB > 0.

Vì A thuộc elip nên $\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=1\Rightarrow \frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_A=\frac{5}{3}.$

Vì B thuộc elip nên $\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=1\Rightarrow \frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_B=-\frac{5}{3}.$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(-\frac{5}{3}-\frac{5}{3}\right)}^2}=\frac{10}{3}.$

b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF1 = a + $\frac{c}{a}$x, MF2 = a – $\frac{c}{a}$x. Do đó:

MF1 = 2MF2 $\iff a+\frac{c}{a}x=2\left(a-\frac{c}{a}x\right)\iff a=3\frac{c}{a}x\iff x=\frac{a^2}{3c}=\frac{9}{3.2}=\frac{3}{2}.$

$\Rightarrow \frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{y^2}{5}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{15}}{2}.$

Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{15}}{2}\right)$ hoặc $M\left(\frac{3}{2};-\frac{\sqrt{15}}{2}\right).$