Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8).

Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.

Vậy phương trình đường tròn phụ là: $x^2+y^2=b^2.$

Có M(x0; y0) thuộc elip nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Xét điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$, ta có: ${\left(\frac{b}{a}{x}_0\right)}^2+y_0^2=\frac{b^2}{a^2}.x_0^2+y_0^2=b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)=b^2.1=b^2.$

Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.