Chứng minh với mọi n ℕ*, lần lượt viết được ở dạng , trong đó an, bn là các số nguyên dương.
+) Khi n = 1, ta có:
a1 = 1, b1 = 1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: viết được dưới dạng trong đó ak + 1, bk + 1 là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
với ak, bk là các số nguyên dương.
Khi đó:
Vì ak, bk là các số nguyên dương nên ak + 2bk và ak + bk cũng là các số nguyên dương.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ℕ*.
+) Theo chứng minh trên ta có:
Với mọi n ℕ* thì với an, bn là các số nguyên dương.
Chứng minh tương tự ta được:
Với mọi n ℕ* thì với cn, dn là các số nguyên dương.
Giờ ta chứng minh an = cn và bn = dn với mọi n ℕ*.
Ta có:
Từ (2) ta suy ra với k > 0 (vì an, bn, cn, dn là các số nguyên dương)
Thế vào (1) ta được:
an = cn và bn = dn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Copyright © 2021 HOCTAP247