Chứng minh với mọi n thuộc N*, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1 - căn bậc hai 2)^n lần lượt viết

Câu hỏi :

Chứng minh với mọi n *, (1+2)n, (12)n lần lượt viết được ở dạng an+bn2, anbn2, trong đó an, bn là các số nguyên dương.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

+) Khi n = 1, ta có:

(1+2)1=1+2=1+1.2 a1 = 1, b1 = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (1+2)k+1 viết được dưới dạng ak+1+bk+12, trong đó ak + 1, bk + 1 là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

(1+2)k=ak+bk2, với ak, bk là các số nguyên dương.

Khi đó:

(1+2)k+1=(1+2)k1+2

=ak+bk21+2

=ak.1+bk2.1+ak.2+bk2.2

=ak+bk2+ak2+2bk

=ak+2bk+ak+bk2.

Vì ak, bk là các số nguyên dương nên ak + 2bk và ak + bk cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n  *.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi  * thì (1+2)n=anbn2 với an, bn là các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi  * thì (12)n=cndn2 với cn, dn là các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh an = cn và bn = dn với mọi  *.

Ta có: (1+2)n12n=1+212n=1n

an+bn2cndn2=1n

ancn2bndn+bncnandn2=1n

ancn2bndn=1n  1bncnandn=0  2.

Từ (2) ta suy ra andn=bncnancn=bndn=k với k > 0 (vì an, bn, cn, dn là các số nguyên dương)

an=kcn,bn=kdn. Thế vào (1) ta được:

kcncn2kdndn=1nkcn22dn2=1n

1    kk=1an = cn và bn = dn.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Copyright © 2021 HOCTAP247