Cho Sn = 1 + 1/2 + 1/(2^2) + + 1/(2^n) và Tn = 2 - 1/(2^n), với n thuộc N*

Câu hỏi :

Cho Sn=1+12+122++12n Tn=212n, với n  *.

a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3.

b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) S1=1+121=32, S2=1+121+122=74, S2=1+121+122+123=158.

T1=2121=32, T2=2122=74, T3=2123=158.

Vậy S1 = T1; S2 = T2; S3 = T3.

b) Ta dự đoán Sn = Tn với n  *.

+) Khi n = 1, ta có: S1 = T1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Sk + 1 = Tk + 1.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: Sk = Tk.

Khi đó:

Sk+1=1+12+122++12k+12k+1

=Sk+12k+1=Tk+12k+1=212k+12k+1

=212k12k+1=222k+112k+1

=212k+1=Tk+1.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n*. Vậy Sn = Tn = 212n với n  *.

Copyright © 2021 HOCTAP247