a) $S_{1} = \frac{1}{1.5} = \frac{1}{5}, S_{2} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} = \frac{2}{9}, S_{3} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} = \frac{3}{13},$

$S_{4} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \frac{1}{13.17} = \frac{4}{17} .$

b) Ta dự đoán $S_{n} = \frac{n}{4 n + 1} .$

+) Khi n = 1, ta có: $S_{1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{4 . 1 + 1} .$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $S_{k + 1} = \frac{k + 1}{4 (k + 1) + 1} .$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $S_{k} = \frac{k}{4 k + 1} .$

Khi đó:

$S_{k + 1} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= S_{k} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{4 k + 1} + \frac{1}{[4 (k + 1) - 3] [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k}{4 k + 1} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k [4 (k + 1) + 1]}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{k (4 k + 5)}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{4 k^{2} + 5 k}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]} + \frac{1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{4 k^{2} + 5 k + 1}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{(4 k + 1) (k + 1)}{(4 k + 1) [4 (k + 1) + 1]}$

$= \frac{(k + 1)}{4 (k + 1) + 1} .$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*. Vậy $S_{n} = \frac{n}{4 n + 1}$ với n ℕ^*.

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Cho Sn = 1/(1.5) + 1/(5.9) + 1/(9.13) + + 1/((4n - 3)(4n + 1), với n thuộc N*

Câu hỏi :

Cho Sn=11.5+15.9+19.13+…+1(4n−3)(4n+1), với n ∈ ℕ*. a) Tính S1, S2, S3, S4. b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Bài tập Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học có đáp án !!

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + \frac{1}{9.13} + \dots + \frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ , với n $\in$ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.