Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q^2 + + q^(n - 1)

+) Khi n = 1, ta có: 1 = $\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^1}{1-q}.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 1 + q + q² +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1} = $\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$ 

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1 + q + q² +... + q^{k – 1} = $\frac{1-q^k}{1-q}.$ 

Khi đó:

1 + q + q² +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1}

= (1 + q + q² +... + q^{k – 1}) + q^{(k + 1) – 1}

= $\frac{1-q^k}{1-q}$ + q^{(k + 1) – 1}

= $\frac{1-q^k}{1-q}$ + q^k

^{$=\frac{1-q^k}{1-q}+\frac{q^k\left(1-q\right)}{1-q}$}

^{$=\frac{1-q^k}{1-q}+\frac{q^k-q^{k+1}}{1-q}$}

^{$=\frac{\left(1-q^k\right)+\left(q^k-q^{k+1}\right)}{1-q}$}

^{$=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$}

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.