Chứng minh với mọi n thuộc ℕ*, ta có: a) 4^n + 15n - 1 chia hết cho 9

* Hướng dẫn giải

a)

+) Khi n = 1, ta có: 4¹ + 15 . 1 – 1 = 18 ⁝ 9.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 4^{k + 1} + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 4^k + 15k – 1 ⁝ 9.

Khi đó:

4^{k + 1} + 15(k+1) – 1

= 4 . 4^k + 15k + 14

= 4. 4^k + (60k – 45k) + (–4 + 18)

= (4 . 4^k + 60k – 4) – 45k + 18

= 4 . (4^k + 15k – 1) – 45k + 18

Vì 4^k + 15k – 1, 45k và 18 đều chia hết cho 9 nên 4 . (4^k + 15k – 1) – 45k + 18 ⁝ 9, do đó 4^{k + 1} + 15(k+1) – 1 ⁝ 9.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

b)

+) Khi n = 1, ta có: 13¹ – 1 = 12 ⁝ 6.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 13^{k + 1} – 1 ⁝ 6.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 13^k – 1 ⁝ 6.

Khi đó: 

13^{k + 1} – 1

= 13 . 13^k – 1

= 13 . 13^k – 13 + 12

= 13 . (13^k – 1) + 12

Vì 13^k – 1 và 12 đều chia hết cho 6 nên 13 . (13^k – 1) + 12 ⁝ 6, do đó 13^{k + 1} – 1 ⁝ 6.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n  $\in$ ℕ^*.