Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc

a) Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$ nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

b)

+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x_A; 0)

Mà A thuộc hypebol nên $\frac{x_{{}_A}^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_A^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_A=a\\ x_A=-a\end{array}\right..$

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0).

+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y_B).

Mà B thuộc hypebol nên $\frac{0^2}{a^2}-\frac{y_{{}_B}^2}{b^2}=1\Rightarrow -\frac{y_{{}_B}^2}{b^2}=1$ (vô lí).

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c) M(x₀; y₀) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Vì $\frac{y_0^2}{b^2}\ge 0$ nên $\frac{x_0^2}{a^2}\le 1\Rightarrow x_0^2\le a^2\Rightarrow \left|x_0\right|\le a.$