Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.

Xét hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Hai đường tiệm cận của hypebol là: d1 : $y=-\frac{b}{a}x$ hay bx + ay = 0 và d2 : $y=\frac{b}{a}x$ hay bx – ay = 0.

Xét điểm M(x; y) bất kì thuộc hypebol. Ta có:

d(M, d1) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$, d(M, d2) = $\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}$.

$\Rightarrow$ d(M, d1).d(M, d2) = $\frac{\left|bx+ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}.\frac{\left|bx-ay\right|}{\sqrt{b^2+a^2}}=\frac{\left|{\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2\right|}{a^2+b^2}$ (*).

Mặt khác, vì M(x; y) thuộc hypebol nên $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2{b}^2-a^2{y}^2}{a^2{b}^2}=1$

$\Rightarrow {\left(bx\right)}^2-{\left(ay\right)}^2=a^2{b}^2$

Thay vào (*) ta được: d(M, d1).d(M, d2) = $\frac{\left|a^2{b}^2\right|}{a^2+b^2}=\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$ (không đổi).

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi.