Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau x (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^x$  (đồng) (x$\in$ℕ^*)".

Vì một năm có m kì hạn nên lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r\%}{m}=\frac{r}{100m}.$

+) Khi x = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A . $\frac{r}{100m}$ (đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

A + A . $\frac{r}{100m}$ = $A\left(1+\frac{r}{100m}\right)=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^1$ (đồng)

Vậy mệnh đề đúng với x = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau (k + 1) (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{k+1}$ (đồng).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau k (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k$ (đồng).

Vì sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu nên số tiền lại ở kì hạn thứ (k + 1) là: $A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k.\frac{r}{100m}$ (đồng).

Suy ra số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

$A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k+A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k.\frac{r}{100m}$

$=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k\left(1+\frac{r}{100m}\right)=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{k+1}$(đồng).

Vậy mệnh đề cũng đúng với x = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi x$\in$ℕ^*.

Sau n (năm) thì số kì hạn người đó đã gửi là: m . n (kì hạn).

Do đó, số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là:

$S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{m.n}$ (đồng).