Chứng minh: C 0 n 3^n + C 1 n #^(n - 1) + + C k n 3^(n - k) + + C (n - 1) n 3 + C n n

* Hướng dẫn giải

$C_n^0{3}^n+C_n^1{3}^{n-1}+\mathrm{...}+C_n^k{3}^{n-k}+\mathrm{...}+C_n^{n-1}3+C_n^n$

$=C_n^0{3}^n+C_n^1{3}^{n-1}{.1}^1+\mathrm{...}+C_n^k{3}^{n-k}{.1}^k+\mathrm{...}+C_n^{n-1}{3.1}^{n-1}+C_n^n{.1}^n$

$={\left(3+1\right)}^n=4^n.$

$C_n^0+C_n^{1}3+\mathrm{...}+C_n^k{3}^k+\mathrm{...}+C_n^{n-1}{3}^{n-1}+C_n^n{3}^n$

$=C_n^0{.1}^n+C_n^1{.1}^{n-1}3+\mathrm{...}+C_n^k{.1}^{n-k}{3}^k+\mathrm{...}+C_n^{n-1}{.1}^{n-1}{3}^{n-1}+C_n^n{3}^n$

$={\left(1+3\right)}^n=4^n.$

Vậy $C_n^0{3}^n+C_n^1{3}^{n-1}+\mathrm{...}+C_n^k{3}^{n-k}+\mathrm{...}+C_n^{n-1}3+C_n^n$

$=C_n^0+C_n^{1}3+\mathrm{...}+C_n^k{3}^k+\mathrm{...}+C_n^{n-1}{3}^{n-1}+C_n^n{3}^n.$