Giải bài toán cổ sau: Trăm trâu, trăm cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già Ba con một bó Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, trâu nằm, trâu già?

Hướng dẫn giải

Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là x, y, z (x, y, z là số nguyên dương).

Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x+y+z=100\\ 5x+3y+\frac{1}{3}z=100\end{array}$ (*).

(*) $\iff \{\begin{array}{l}x+y=100-z\\ 15x+9y=300-z\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-300+4z}{3}\\ y=\frac{600-7z}{3}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{4z}{3}-100\\ y=200-\frac{7z}{3}\end{array}.$

Vìx > 0 nên $\frac{4z}{3}-100>0$ $\Rightarrow z>75,$

y > 0 nên $200-\frac{7z}{3}>0\Rightarrow z<85.$

Mà z là số nguyên dương nên $z\in \{76;77;\mathrm{...};84\}.$

Lại có x là số nguyên nên $\frac{4z}{3}-100$ là số nguyên, suy ra z ⁝ 3 $\Rightarrow z\in \{78;81;84\}.$

+) Với z = 78 thì x = 4, y = 18.

+) Với z = 81 thì x = 8, y = 11.

+) Với z = 84 thì x = 12, y = 4.

Vậy số trâu đứng, trâu nằm, trâu già theo thứ tự có thể là một trong ba bộ số (4; 18; 78), (8; 11; 81), (12; 4; 84).