Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

Hướng dẫn giải

a) $\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ x-3y+z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ y-z=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ -3z=-5\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{5}{3}).$

b) $\{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 7y-5z=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 0y+0z=-3\end{array}.$

Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ -3y+z=-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\end{array}.$

Từ phương trình thứ hai, ta có z = 3y – 1, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –2y + 1.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 1; y; 3y – 1).