Chứng minh rằng 8n ≥ n3 với mọi n thuộc N*.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 81 = 8 > 1 = 13. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8k ≥ k3.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

8k + 1 ≥ (k + 1)3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

8k + 1 = 8 . 8k ≥ 8 . k3 = k3 + 3k3 + 3k3 + k3 ≥ k3 + 3k2 + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)3.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.