Chứng minh rằng bất đẳng thức 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n nhỏ hơn hoặc bằng (n+1)/2 đúng với mọi n thuộc N*

* Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1}=1=\frac{1+1}{2}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{k}\le \frac{k+1}{2}.$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le \frac{(k+1)+1}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le$ $\frac{k+1}{2}+\frac{1}{k+1}=\frac{{(k+1)}^2+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+2k+3}{2(k+1)}$$\le \frac{k^2+2k+1+2}{2(k+1)}\le \frac{k^2+2k+k+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+3k+2}{2(k+1)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}=\frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)+1}{2}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.